集合思想及应用

　　集合是高中数学的入门知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本定义的认识和理解，与作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主如果帮助考生运用集合的看法，不断加深对集合定义、集合语言、集合思想的理解与应用.

　　●难题磁场

　　已知集合A={|x2+mx-y+2=0},B={|x-y+1=0,且0x2},假如AB ,求实数m的取值范围.

　　●案例探究

　　[例1]设A={|y2-x-1=0},B={|4x2+2x-2y+5=0},C={|y=kx+b},是不是存在k、bN,使得C=，证明此结论.

　　命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的剖析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的要点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

　　常识依托：解决此题的亮点是将条件C=转化为AC=且BC=，如此困难程度就减少了.

　　错解剖析：此题难题在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不可以认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.

　　方法与办法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用辨别式对根的状况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN,进而可得值.

　　解：∵C=，AC=且BC=∵ k2x2+x+b2-1=0

　　∵AC=1=2-4k20

　　4k2-4bk+10,此不等式有解，其充要条件是16b2-160,即b21 ①

　　∵ 4x2+x+=0

　　∵BC=,2=2-40

　　k2-2k+8b-190,从而8b20,即b2.5 ②

　　由①②及bN,得b=2代入由10和20组成的不等式组，得

　　k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得C=.

　　[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成;另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

　　命题意图：在集合问题中，有一些常见的办法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实学会.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

　　常识依托：解答本题的亮点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

　　错解剖析：本题难题在于所给的数目关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

　　方法与办法：画出韦恩图，形象地表示出各数目关系间的联系.

　　解：赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.

　　设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.

　　依题意++x+=50,解得x=21.

　　所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

　　●锦囊妙计

　　1.解答集合问题，第一要正确理解集合有关定义，尤其是集合中元素的三要点;对于用描述法给出的集合{x|xP},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x与它所具备的性质P;要看重发挥图示法有哪些用途，通过数形结合直观地解决问题.

　　2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有A=或A 两种可能，此时应分类讨论.